A.3 Dynamiques de transition

Les résultats de ce modèle sont donc relativement frustrants. A l'équilibre, la croissance est uniquement expliquée par des facteurs exogènes. Il est néanmoins possible d'obtenir plus d'information sur le fonctionnement de cette économie en étudiant sa dynamique de transition : la manière dont le revenu/tête converge sur sa valeur de croissance équilibrée. En divisant par $k$ les deux membres de l'équation dynamique fondamentale, nous obtenons

$$\gamma_{k}=\frac{\dot{k}}{k}=s\cdot\frac{f\left( k\right) }{k}-\left( n+\delta\right)$$ (A.13)

où $\gamma_{x}$ est le taux de croissance de la variable par tête $x$. A chaque moment, le taux de croissance du niveau global de $X$ est donné par

$$\gamma_{X}=\gamma_{x}+n.$$

Convergence vers le SCE

Le sentier de croissance équilibrée est donc globalement stable :

Stabilité du SCE

Cette stabilité provient en fait des rendements déc rois sants du facteur capital. Quand $k$ est relativement faible $\left( k<k^{*}\right)$, la productivité moyenne du capital $\left( f\left( k\right) /k\right)$ est relativement forte. $\circ$ les agents épargnent et investissent une part constante du revenu et donc l'investissement brut par unité de capital, $sf\left( k\right) /k$ est fort; $\circ$ la dépréciation du $k$ se fait à un taux constant $\left( n+\delta\right)$; $\circ$ le taux de croissance $\dot{k}/k$ est donc positif et relativement fort. (le raisonnement est inversé si $\left( k>k^{\ast}\right) .$) Dynamique du revenu/tête Nous pouvons aussi calculer le taux de croissance du revenu/tête :

$$\gamma_{y}=\dot{y}/y=\frac{f^{\prime}\left( k\right) \dot{k}}{f\l... ...c{k\cdot f^{\prime}\left( k\right) }{f\left( k\right) }\right] \cdot\gamma_{k}$$ (A.14)

L'expression $\left[ \cdot\right]$ correspond à la part du capital - la part de la rémunération du capital dans le revenu total :

$$\Psi\left( k\right) =\frac{k\cdot f^{\prime}\left( k\right) }{f\left( k\right) }=\frac{\dfrac{K}{L}F_{K}}{\dfrac{Y}{L}}=\frac{K\cdot F_{K}}{Y}.$$ (A.15)

Dans le cas d'une fonction Cobb-Douglas cette part est constante et elle est égale à $\alpha$ et donc le taux de variation du revenu/tête est une fraction constante $\alpha$ de $\gamma_{k}$ . De manière générale, en utilisant l'équation A.13 :

$$\gamma_{y}=s\cdot f^{\,\prime}\left( k\right) -\left( n+\delta\right) \cdot\Psi\left( k\right) ,$$ (A.16)

Nous pouvons étudier comment ce taux de variation se modifie avec $k$ (sur une trajectoire) :

$$\frac{\partial\gamma_{y}}{\partial k}=s\cdot f\,^{\prime\prime}\left( k\right) -\left( n+\delta\right) \cdot\frac{d\Psi\left( k\right) }{dk}$$ (A.17)

$$\Psi\left( k\right) =\frac{k\cdot f^{\prime}\left( k\right) }{f\left( k\right) }$$

$$\frac{d\Psi\left( k\right) }{dk} =\frac{\left( f\,^{\prime }+kf\,^{\prime\prime}\right) \cdot f-kf\,^{\prime\,2}}{f^{2}}$$ (A.18)

$$=\frac{f\,^{\prime}}{f}\cdot\left[ 1-k\frac{f\,^{\prime}}{f}\right] +k\frac{f\,^{\prime\prime}}{f}$$

$$=\frac{f\,^{\prime}}{f}\cdot\left[ 1-\Psi\left( k\right) \right] +k\frac{f\,^{\prime\prime}}{f}$$

$$\frac{\partial\gamma_{y}}{\partial k} =f\,^{\prime\prime}\cdot\left[ s-\frac{\left( n+\delta\right) k}{f}\right]$$

$$\quad\quad\quad-\frac{\left( n+\delta\right) f\,^{\prime}}{f}\cdot\left[ 1-\Psi\left( k\right) \right]$$

$$=\frac{f\,^{\prime\prime}\cdot k}{f}\cdot\left[ s\cdot f/k-\left( n+\delta\right) \right]$$

$$\quad\quad\quad-\frac{\left( n+\delta\right) f\,^{\prime}}{f}\cdot\left[ 1-\Psi\left( k\right) \right]$$

$$\fbox{$\dfrac{\partial\gamma_y}{\partial k}=\underset{<0}{\underb... ...n+\delta\right) f\,^{\prime}}{f}\cdot\left[ 1-\Psi\left( k\right) \right] }}$}$$ (A.19)

Nous avons deux cas : $\bullet\;k\leq k^{*}$

$$\gamma_{k}\geq0\Rightarrow\gamma_{y}\geq0\;\; \,\,\frac {\partial\gamma_{y}}{\partial k}<0.$$ (A.20)

Si le capital/tête croît, le revenu par tête croît aussi mais de plus en plus faiblement.

$\bullet\;k\geq k^{\ast}$

$$\gamma_{k}\leq0\Rightarrow\gamma_{y}<0\;\; \,\,\frac{\partial \gamma_{y}}{\partial k}\overset{?}{<}0.$$ (A.21)

Dans ce cas le premier terme devient positif et le résultat est ambigu. Si l'on est proche de $k^{*}$ alors $\gamma_{k}$ est très faible en valeur absolue et le second terme négatif domine :

$$\lim_{k\downarrow k^{*}}\frac{\partial\gamma_{y}}{\partial k}<0.$$ (A.22)

Ce raisonnement est aussi valable pour la consommation/tête car $\gamma_{c}=\gamma_{y}$ à chaque point du temps : la consommation possède la même dynamique que le revenu.