Sous-sections

• 5.2.1 Secteur du bien final
• 5.2.2 Secteur du bien intermédiaire
• 5.2.3 Secteur de la recherche
• 5.2.4 Résoudre le modèle

5.2 Mécanismes économiques du modèle

Romer introduit la concurrence imparfaite dans un cadre d'équilibre général (fondements microéconomiques de la macroéconomie). Il y a trois secteurs dans le modèle de Romer: les secteurs du bien final, du bien intermédiaire et de la recherche. La production des idées et des biens est séparée. Le secteur intermédiaire est nécessaire du fait de la présence des rendements croissants. Une firme du secteur de la recherche produit de nouvelles idées. Elle vend le droit exclusif de produire un bien capital spécifique à une firme du secteur intermédiaire. Cette dernière obtient alors une position de monopole sur ce bien-capital, le produit et le vend au secteur du bien final qui produit l'output.

5.2.1 Secteur du bien final

Un grand nombre de firmes concurrentielles qui produisent un bien homogène à partir du capital et du travail. La fonction de production reflète la présence de plusieurs biens-capitaux dans le modèle:

$$Y=L_{Y}^{1-\alpha}\sum_{j=1}^{A}x_{j}^{\alpha}$$

$x_{j}$ sont des biens-capitaux (intermédiaires). $A$ est le nombre total de biens intermédiaires disponibles dans l'économie à chaque moment. L'invention d'une nouvelle idée correspond à la création d'un nouveau bien-capital. On peut aussi écrire cette fonction de production sous la forme:

$$Y=L_{Y}^{1-\alpha}x_{1}^{\alpha}+L_{Y}^{1-\alpha}x_{2}^{\alpha}+\cdots +L_{Y}^{1-\alpha}x_{A}^{\alpha}$$

Donné $A,$ cette fonction a des rendements d'échelle constants. Pour des raisons techniques, il vaut mieux remplacer la somme per une intégrale:

$$Y=L_{Y}^{1-\alpha}\int_{0}^{A}x_{j}^{\alpha}dj$$

Alors $A$ mesure la gamme des biens-capitaux disponibles: $\left[ 0,A\right]$. L'objectif des firmes du secteur final (avec $P_{Y} =1$):

$$\max_{L_{Y},x_{j}}L_{Y}^{1-\alpha}\cdot\int_{0}^{A}x_{j}^{\alpha} dj-wL_{Y}-\int_{0}^{A}p_{j}\cdot x_{j}^{\alpha}dj$$

Les conditions de premier ordre:

$$w =\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{L_{Y}}$$ (5.13)

$$p_{j} =\alpha L_{Y}^{1-\alpha}x_{j}^{\alpha-1}$$ (5.14)

5.2.2 Secteur du bien intermédiaire

Étant donné le coût d'achat (fixe) d'une nouvelle idée, une unité de capital brut peut être transformée en une unité de bien intermédiaire. L'objectif de la firme intermédiaire est:

$$\max_{x_{j}}\pi_{j}=p_{j}\left( x_{j}\right) x_{j}-rx_{j}$$

Ce qui donne la condition de premier ordre

$$p^{\prime}\left( x\right) x+p\left( x\right) -r=0$$

que nous pouvons réécrire

$$p^{\prime}\frac{x}{p}+1 =\frac{r}{p}$$

$$\Rightarrow p=\frac{1}{1+\frac{p^{\prime}x}{p}}r$$

$$p =\frac{1}{\alpha}r.$$

car $\frac{p^{\prime}x}{p}$ est l'élasticité de la courbe de demande et peut être calculé à partir de l'équation  $\left( \ref{pj}\right) .$ C'est la solution de chaque monopoleur. De plus, en remarquant que $x_{j}=x,\,\pi_{j}=\pi,\,\forall j,$ le profit devient

$$\pi=\alpha\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{A}.$$ (5.15)

car:

$${\small p} ={\small\alpha L}_{Y}^{1-\alpha}{\small x}^{a-1} {\small =}\frac{\alpha}{x}\frac{Y}{A}$$

$${\small r} ={\small\alpha p\Rightarrow\pi=}\left( p-r\right) {\small x=p}\left( 1-\alpha\right)$$

$${\small\pi} =\frac{\alpha}{x}\frac{Y}{A}\left( 1-\alpha\right) {\small x=\alpha}\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{A}{\small .}$$

Finalement, la demande de capital des firmes intermédiaires doit être égal au stock de capital total de l'économie

$$\int_{0}^{A}x_{j}dj=K$$

Comme chaque bien-capital est utilisé avec le même montant, $x$,

$$x=\frac{K}{A}$$ (5.16)

On peut alors écrire la fonction de production du secteur de bien final comme étant

$$Y=AL_{Y}^{1-\alpha}x^{\alpha}$$

Ce qui donne avec l'équation  $\left( \ref{x}\right)$

$$Y=AL_{Y}^{1-\alpha}A^{-\alpha}K^{\alpha}=K^{\alpha}\left( AL_{Y}\right) ^{1-\alpha}$$

On retrouve donc la même fonction de production agrégée que dans le reste du cours (équation  $\left( \ref{Yromer}\right)$).

5.2.3 Secteur de la recherche

Une nouvelle idée correspond à une nouvelle manière de transformer une unité de capital brut en une unité de bien intermédiaire. Les nouvelles idées sont découvertes au rythme donnée par l'équation  $\left( \ref{RD}\right) .$ Quand une nouvelle idée est découverte, son inventeur obtient un brevet qui lui donne l' exclusivité sur cette idée pour toujours. L'inventeur vend le brevet à une firme du secteur intermédiaire et utilise ce revenu pour consommer et épargner comme tous les autres agents dans l'économie. Mais à quel prix doit-il vendre ce brevet? Tout le monde peut participer aux enchères pour acheter un brevet (et donc une position de monopole sur le secteur intermédiaire). Le prix maximal que chacun est prêt à payer est donné par la valeur actualisée des profits d'une firme du secteur intermédiaire. Si l'on propose un prix inférieur, quel qu'un d'autre obtiendra le brevet. Soit donc $P_{A}$ cette valeur actualisée et donc le prix d'une nouvelle idée. Comment ce prix varie-t-il dans le temps? Pour répondre à cette question il faut suivre un argument basé sur le principe d'arbitrage. L'arbitrage dans l'épargne doit se faire entre l'achat d'une unité de capital qui rapporte $r$ et l'achat d'un brevet qui donne droit à des profits pour la période et que l'on peut vendre à la fin de la période. A l'équilibre les deux rendements devraient être égaux. Sinon tout le monde se retournerait vers l'option la plus avantageuse et réduirait le rendement de celle-ci. D'où l'équation d'arbitrage de ce modèle

$$rP_{A}=\pi+\dot{P}_{A}.$$ (5.17)

En réécrivant cette équation

$$r=\frac{\pi}{P_{A}}+\frac{\dot{P}_{A}}{P_{A}}$$

Or le long du SCE, $r$ doit être constant (du fait de la proportionnalité entre l'offre de capital et $Y/K$) ainsi que $\dot{P} _{A}/P_{A}$. Par conséquent, $P_{A}$ doit varier dans le même sens et à la même vitesse que $\pi$. Donc l'équation d'arbitrage implique:

$$P_{A}=\frac{\pi}{r-n}$$ (5.18)

ce qui nous donne le prix d'un brevet le long du SCE.

5.2.4 Résoudre le modèle

Ce modèle possède plusieurs particularités:

1. La fonction de production a des rendements d'échelle croissants;
2. Ces rendements croissants impliquent une concurrence imparfaite (monopoles) dans le secteur intermédiaire. Ces monopoles vendent le bien intermédiaire à un prix supérieur au coût marginal $\left( p=r/\alpha>r\right)$. Mais tout leur profit est transmis aux inventeurs (secteur de la recherche) en vue d'inciter ces derniers à passer du temps à chercher de nouvelles idées (concurrence monopolistique). Il n'y a pas de profits économiques dans ce modèle, toutes les rentes servent à financer les facteurs de production.
3. Étant donné la concurrence imparfaite, il n'y a aucune raison pour que l'équilibre corresponde à un optimum social.

Il nous reste à résoudre le modèle pour déterminer l'allocation de la population entre le secteur de recherche et le secteur final $\left( s_{R}\right)$. On va encore utiliser un argument d'arbitrage: A l'équilibre, les individus devraient être indifférent entre travailler dans le secteur final et recevoir leur productivité marginale comme salaire

$$w_{Y}=\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{L_{Y}}$$

et travailler dans le secteur de la recherche. Dans ce dernier cas ils considèrent que leur productivité est une donnée (ignorent l'effet de $A$ sur $\dot{A}$ à travers $\lambda$ et $\phi$). Ils reçoivent alors leur produit marginal comme salaire

$$w_{R}=\tau P_{A}.$$

L'équilibre implique donc

$$w_{Y}=w_{R}$$ (5.19)

$${\small\tau P}_{A}{\small =}\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{L_{Y} }$$

$${\small P}_{A}{\small =}\frac{\pi}{r-n}{\small\Rightarrow\tau}\frac{\pi} {r-n}{\small =}\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{L_{Y}}$$

$${\small\pi=\alpha}\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{A}{\small\Right... ...( 1-\alpha\right) \frac{Y}{A} {\small =}\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{L_{Y}}$$

$$\frac{\alpha}{r-n}\frac{\tau}{A}{\small =}\frac{1}{L_{Y}}$$

$${\small\gamma}_{A}{\small =\dot{A}/A=}\frac{{\small\tau L}_{A}} ... ...a\gamma_{A}}{r-n}{\small =}\frac{L_{A} }{L_{Y}}{\small =}\frac{s_{R}}{1-s_{R}}$$

$$\fbox{$s_R=\frac{1}{1+\frac{r-n}{\alpha\gamma_A}}$}$$ (5.20)

Par conséquent, une croissance plus rapide est corrélée avec une proportion plus importante de la population dans le secteur de la recherche. De plus $r=\alpha^{2}Y/K<Pm_{K}=\alpha Y/K:$ le prix du capital est donc inférieur à sa productivité marginale. Cela provient du fait que si ce prix est égal à $Pm_{K}$ comme dans le modèle de Solow, nous avons

$$wL+rK=Y\,\quad\left( \text{identit\'{e} d'Euler}\right)$$

donc il n'y a aucun output pour récompenser les individus qui ont cherché de nouvelles idées (revenu de $A$). L'existence des rendements croissants ne peut être pris en compte dans l'équilibre concurrentiel et la concurrence imparfaite (dans le secteur intermédiaire) est nécessaire pour payer le capital moins que sa productivité marginale et de financer avec le reste la création de nouvelles idées.