Sous-sections

• 2.1.1 Le diagramme de Solow
• 2.1.2 Statiques comparatives
  • 2.1.2.1 Une augmentation du taux d'investissement
  • 2.1.2.2 Une croissance démographique plus forte
  
  
• 2.1.3 Propriétés de l'état stationnaire
• 2.1.4 Croissance économique dans le modèle simple

2.1 Le modèle de base

Le modèle fait un certain nombre d'hypothèses:

$\left( H1\right)$

Les pays produisent et consomment un seul bien homogène (le produit $Y$);

$\left( H2\right)$

La production se fait en concurrence parfaite;

$\left( H3\right)$

La technologie est exogène;

$\left( H4\right)$

La technologie peut être représentée par une fonction de production de type néo-classique basée sur des facteurs substituables: le capital $\left( K\right)$ et le travail $\left( L\right)$;

$\left( H5\right)$

La consommation agrégée est représentée par une fonction keynésienne:

$$C=c.Y\Rightarrow S=\left( 1-c\right) Y=s\cdot Y$$ (2.1)

$\left( H6\right)$

Le taux participation à l'emploi de la population est constant. Si la population croît au taux $n,$ l'offre de travail $\left( L\right)$ augmente aussi à ce taux $n\,:$

$$\frac{d\log\left( L\right) }{dt}=\frac{dL/dt}{L}=\frac{\dot{L}}{L}=n$$ (2.2)

Pour le propos du cours, nous le simplifierons encore en supposant que la fonction de production est de type Cobb-Douglas:

$$Y=F\left( K,L\right) =K^{\alpha}L^{\left( 1-\alpha\right) },\quad\alpha \in\left[ 0,1\right] .$$ (2.3)

Les rendements d'échelle sont donc constants $\left( \alpha+\left( 1-\alpha\right) =1\right)$. En concurrence parfaite, les firmes sont preneuses de prix et elles maximisent le profit

$$\max_{K,L}F\left( K,L\right) -rK-wL$$

où $r$ est le taux d'intérêt réel et $w,$ le salaire réel. La maximisation de profit implique

$$w =\frac{\partial F}{\partial L}=\left( 1-\alpha\right) \frac{Y}{L}$$

$$r =\frac{\partial F}{\partial K}=\alpha\frac{Y}{K}$$

De plus,

$$wL+rK=Y$$

du fait de l'homogénéité et de la constance des rendements d'échelle (identité d'Euler). Cette technologie avec des productivités marginales décroissantes est la différence principale de ce modèle par rapport au modèle de Harrod. Plusieurs de nos faits stylisés étaient exprimés en termes de produit par tête (per capita). Pour cette raison, nous allons utiliser une version de ce modèle exprimée en termes de valeurs per capita:

$$\,k =\frac{K}{L}\quad\,( \frac{L}{L}=1).$$

$$y =\frac{Y}{L}=f\left( k\right) =\frac{F\left( K,L\right) }{L} =\f... ...L^{\left( 1-\alpha\right) }}{L}=\left( \frac{K}{L}\right) ^{\alpha}=k^{\alpha}$$

$$\,y=f\left( k\right) =k^{\alpha}$$ (2.4)

Figure 2.1: Fonction de production per capita Cobb-Douglas

Ce graphique fait clairement apparaître les rendement décroissants du capital par ouvrier. La seconde équation fondamentale du modèle de Solow concerne l'accumulation du capital et donc la dynamique:

$$\dot{K}\equiv\frac{dK}{dt}=I-\delta K$$ (2.5)

la variation du capital est égale à la différence entre investissement et la dépréciation du capital (au taux constant $\delta$). Comme nous avons une économie fermée, l'investissement est nécessairement égal à l'épargne (équilibre du marché des biens):

$$I =S=s\cdot Y$$ (2.6)

$$\dot{K} =sY-\delta K$$ (2.7)

D'autre part, nous avons:

$$k =\frac{K}{L}\Rightarrow\log\left( k\right) =\log\left( K\right) -\log\left( L\right)$$

$$\Rightarrow\frac{d\log\left( k\right) }{dt}=\frac{\dot{k}}{k}=\frac {\dot{K}}{K}-\frac{\dot{L}}{L}=\frac{sY-\delta K}{K}-\frac{\dot{L}}{L}$$ (2.8)

Or, l'équation 2.2 nous donne le taux de croissance du facteur travail (du fait de l'équilibre du marché de travail)

$$\frac{\dot{L}}{L} =n\Rightarrow\frac{d\log\left( L\right) } {dt}=n\Rightarrow\log\left( L\right) =\int ndt=nt+C_{0}$$

$$\Rightarrow L\left( t\right) =e^{nt+C_{0}}.\quad L\left( 0\right) =e^{C_{0}}=L_{0}.$$

$$L\left( t\right) =L_{0}e^{nt}.$$ (2.9)

L'équation 2.8 devient donc

$$\frac{\dot{k}}{k}=\frac{sY}{K}-\delta-n=\frac{sy}{k}-\delta-n.$$

Ce qui nous donne l'équation dynamique fondamentale du capital

$$\frame{$\quad\dot{k}=s\cdot f\left( k\right) -\left( \delta+n\right) \cdot k\ ,\quad$}$$ (2.10)

2.1.1 Le diagramme de Solow

Les deux équations fondamentales du modèle de Solow sont donc $\left( \ref{dynKbon}\right)$ et $\left( \ref{y}\right) .$ Si l'économie part d'une situation initiale $\left( k_{0}=K_{0}/L_{0}\right) ,$ la première équation nous donne, pour chaque période, la production donc l'épargne et l'investissement, la seconde, la manière dont ces éléments déterminent l'accumulation du capital

$$\fbox{$ \begin{array}[c]{ccccc} \fbox{$k_0$} & \overset{f... ...rrow & \fbox{$k_1$} & \longleftarrow & K_{1} \end{array} $}$$

On peut donc dérouler l'évolution de l'économie dans le temps en utilisant ces deux équations. Mais est-ce que ce modèle peut nous permettre d'expliquer les différents faits stylisés? Peut-il donc expliquer les différences qui existent entre les économies? On peut répondre à ces questions en utilisant une représentation graphique de cette dynamique:

Figure 2.2: Le diagramme de Solow

Cette représentation résume de manière très simple toutes les données de l'économie en fonction du capital/tête. Notamment le taux de variation de $k$ est donné par l'écart entre les deux courbes: $sf\left( k\right)$ et $\left( n+\delta\right) k.$ A l'intersection de ces deux courbes nous avons

$$\frac{\dot{k}}{k}=0\quad\Rightarrow\dot{k}=0,\quad k=k^{\ast}$$

C'est l'état stationnaire et le capital/tête ne change plus à partir de cet état. En dehors de l'état stationnaire, nous avons

$$k_{0} <k^{\ast}\Leftrightarrow\dot{k}>0$$ (2.11)

$$k_{0} >k^{\ast}\Leftrightarrow\dot{k}<0$$ (2.12)

Dans le $Cas\,\,1$, le capital/tête de l'économie augmente et on a une intensification du capital dans l'économie. Dans le $Cas\,\,2,$ le capital/tête diminue et on a un élargissement du capital dans l'économie.

2.1.2 Statiques comparatives

La statique comparative permet d'étudier l'évolution du capital/tê te à partir d'un état stationnaire et suite à un choc qui provient d'un changement dans l'environnement économique.

2.1.2.1 Une augmentation du taux d'investissement

Si à partir d'un état stationnaire les consommateurs augmentent leur taux d'épargne

$$s\rightarrow s^{\prime}>0,$$

cela se traduira nécessairement par une augmentation du taux d'investissement dans l'économie. Quel serait l'effet d'un tel choc sur $k$ et $y$? Nous pouvons répondre à cette question grâce à un graphique.

Figure 2.3: Augmentation du taux d'investissement

2.1.2.2 Une croissance démographique plus forte

Une augmentation du taux de croissance démographique $\left( n^{\prime }>n\right)$ impose une pression plus forte sur l'accumulation du capital en augmentant le dénominateur du capital/tête. L'effet sur l'état stationnaire de l'économie peut de nouveau être analysé par un graphique (Figure 2.4).

Figure 2.4: Croissance du taux démographique

2.1.3 Propriétés de l'état stationnaire

L'état stationnaire est déterminé par la condition

$$\dot{k} =sk^{\alpha}-\left( n+\delta\right) k=0$$

$$k^{\ast} =\left( \frac{s}{n+\delta}\right) ^{1/\left( 1-\alpha\right) }$$

La production par tête à cet état stationnaire est donnée par

$$y^{\ast}=f\left( k^{\ast}\right) =\left( \frac{s}{n+\delta}\right) ^{\alpha/\left( 1-\alpha\right) }.$$

Cela donne une première réponse à la question ``Pourquoi certains pays sont riches et certains sont pauvres?''    :

Proposition 1   Les pays qui ont un taux d'épargne/investissement plus élevé ont tendance à être plus ``riches'' et ceux qui ont un taux de croissance démographique plus fort ont tendance à être plus ``pauvres''.

Comment est-ce que ces prédictions se comparent aux observations?

Taux d'investissement et ``richesse''

Croissance démographique et ``richesse''

2.1.4 Croissance économique dans le modèle simple

Dans cette version simplifiée, les variables per capita sont constantes à l'état stationnaire. Les variables absolues $\left( Y,S,C,K\right)$ croissent au même taux que la population

$$\frac{\dot{k}}{k}=\frac{\dot{y}}{y}=0\Rightarrow\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac {\dot{K}}{K}=\frac{\dot{L}}{L}=n.$$

Et les faits stylisés ? Le modèle génère, à l'état stationnaire (le long terme)

• une variation entre les PIB/tête entre les pays;
• un ratio capita-produit $\left( K/Y\right)$ constant (car $k$ et $y$ sont constants);
• $k$ étant constant, le rendement du capital (la productivité marginale de $k)$ est constant.

Mais il ne peut générer un fait stylisé très important : la croissance soutenue des revenus/tête $\left( y\right) \,!$ Dans ce modèle les économies peuvent croître à court terme mais pas à long terme: même si un pays s'écarte à un moment donné de l'état stationnaire, il suivra un sentier de transition et finira par atteindre le nouvel état stationnaire. La croissance se ralentit en plus au fur et à mesure que l'économie s'approche de l'état stationnaire. Ce résultat est dû à $\alpha<1$ dans l'équation dynamique fondamentale

$$\gamma_{k}=\frac{\dot{k}}{k}=sk^{\alpha-1}-\left( n+\delta\right) =s\cdot\frac{f\left( k\right) }{k}-\left( n+\delta\right)$$ (2.13)

et donc quand $k$ augmente, le taux de croissance de $k$ diminue. Comme le taux de croissance de $y$ est proportionnel à celui de $k,$ il décroît aussi. Une représentation graphique séparée des deux éléments du membre droit de cette équation facilite l'étude l'évolution de $\dot{k}/k$.

Figure 2.5: Taux de croissance de $k$