B.1 Équilibre du marché du bien

Dans un cadre statique, la condition keynésienne de l'équilibre du marché du bien est donné par $I=S.$ Dans un cadre dynamique, cette égalité doit être valide dans le temps :

$$I_{t}=S_{t}$$ (B.1)

En tant que flux, l'investissement joue un rôle dynamique important:

$$I_{t}=\Delta K_{t} I_{t}=\frac{dK}{dt}=\dot{K}_{t}$$ (B.2)

selon que l'on utilise un temps discret ou continu. La condition d'équilibre  $\left( \ref{is}\right)$ devient alors :

$$S_{t}=\dot{K}_{t}$$ (B.3)

L'investissement est déterminé par les anticipations des entrepreneurs sur la croissance de la demande $\left( \dfrac{dY_{t}}{dt}\right)$ (mécanisme d'accélérateur). De plus le coefficient de capital à l'équilibre est constant : $\gamma$

$$Y_{t}=\frac{1}{\gamma}K_{t} K_{t}=\gamma Y_{t}$$ (B.4)

où $\gamma$ est le coefficient marginal du capital et $1/\gamma$ est la productivité marginale du capital. En considérant la dynamique d'équilibre, on doit avoir    :

$$\Delta K_{t}=\gamma\cdot\Delta Y_{t} \dot{K}_{t}=\gamma\dot{Y}_{t}$$ (B.5)

la variation de $Y$ correspond ici aux anticipations des producteurs. La condition d'équilibre  $\left( \ref{is2}\right)$ devient alors:

$$I_{t}=\dot{K}_{t}=\frame{$\gamma\dot{Y}_t=sY_t$}=S_{t}$$ (B.6)

où $s\,\left( =1-c\right)$ est la propension moyenne à épargner (Keynes). En divisant les deux membres de l'équation précédente par $Y_{t},$ on obtient

$$\gamma\frac{\dot{Y}_{t}}{Y_{t}}=s\Leftrightarrow\frac{\dot{Y}_{t}}{Y_{t} }=\fbox{$g_w=\dfrac{s}{\gamma}$}$$ (B.7)

$g_{w}$ (w: warranted=garanti) est le taux de croissance du revenu qui assure l'équilibre du marché de bien: les anticipations des producteurs et le comportement des consommateurs sont compatibles dans le temps si l'économie croît au taux $g_{w}.$ Si les producteurs n'anticipent pas correctement l'évo lution de la demande, le taux de croissance effectif de l'économie peut être différent du taux garanti et impliquer ainsi un dé séquilibre sur le marché des biens (le premier problème de Harrod). L'évolution du revenu doit alors suivre la trajectoire

$$Y_{t}=Y_{0}^{K}\cdot e^{g_{w}t} Y_{0}^{K}=\frac{1}{\gamma}K_{0}.$$ (B.8)