B.2 Équilibre du marché du travail

Cela correspond à la condition

$$Offre\quad d^{\prime}emplois =Demande\quad d^{\prime}emplois$$

$$L_{t} =N_{t}\quad(Pop.\,\,\,active)$$ (B.9)

A l'équilibre, la constance de la technologie et des prix doivent conduire à un coefficient marginal du facteur-travail constant $\left( \lambda\right)$

$$L_{t}=\lambda Y_{t}$$ (B.10)

La condition d'équilibre  $\left( \ref{equiL}\right)$ devient alors

$$\lambda Y_{t}=N_{t}$$

qui nous donne le niveau de production qui permet d'employer toute la population active. Cette condition peut aussi être exprimée en termes de taux de croissance (dérivée loga rithmique)

$$\ln\left( \lambda Y_{t}\right) =\ln\left( N_{t}\right)$$

$$\ln\left( \lambda\right) +\ln\left( Y_{t}\right) =\ln\left( N_{t}\right)$$

$$\ln\left( Y_{t}\right) =\ln\left( N_{t}\right) -\ln\left( \lambda\right) =\ln\left( N_{t}\right) +\ln\left( 1/\lambda\right)$$

En dérivant les deux membres de cette égalité, on obtient les dérivées logarithmiques donc, des taux de croissance

$$g_{n} =\frac{\dot{Y}_{t}}{Y_{t}}=\frac{\dot{N}_{t}}{N_{t}}+\frac {\overset{\cdot}{\left( 1/\lambda\right) }}{\left( 1/\lambda\right) }$$

$$g_{n} =\frac{\dot{Y}_{t}}{Y_{t}}=n+\ell$$

où $n$ est le taux de croissance de la population et $\ell$ est le taux de croissance de la productivité du travail. $g_{n}$ est le taux de croissance naturel qui rend compatible l'évolution de la production et celle de la population active de manière à ne pas créer du chômage. Par conséquent, nous devons avoir l'évolution suivante

$$N_{t} =N_{0}\cdot e^{nt}$$

$$Y_{t} =Y_{0}^{L}\cdot e^{g_{n}t} Y_{0}^{L}=\frac {1}{\lambda}N_{0}.$$ (B.11)