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• 1.2.1 Résolution de PC

1.2 Le problème du consommateur

Le consommateur cherche à acheter un panier de consommation choisi dans l'ensemble des paniers de consommation $X=\mathbb{R}_{+}^{K}$:

Choisir une panier de consommation $x$ qui est le meilleur selon les préférences, tout en respectant la contrainte que le coût total de $x$ ne soit pas plus élevé que le revenu du consommateur.

La contrainte peut être exprimée assez simplement.

Soit $p=\left( p_{1},\dots,p_{K}\right)$ le vecteur des prix. Soit $R$ le revenu du consommateur.

Nous pouvons alors écrire la contrainte de revenu du consommateur comme étant

$$\sum_{j=1}^{K}p_{j}x_{j}\leq R\Leftrightarrow p\cdot x\leq R$$.

L'ensemble de budget du consommateur est alors donné par

$$B=\{x\in\mathbb{R}_{+}^{K}:p\cdot x\leq R, x\geq0\}.$$

En utilisant cette représentation de la contrainte et celle des préférences, nous pouvons maintenant énoncer le problème du consommateur $\left( PC\right)$

$$\max_{x\in X}U\left( x\right) \quad S.l.c.\quad p\cdot x\leq R\quad et\quad x\geq0. PC$$

Que peut-on déjà dire sur la ou les solution(s) de ce problème?

Proposition 8   Si les préférences sont asymétriques, négativement transitives et continues ou, de manière équivalente, si elles sont représentées par une fonction continue $U$ alors:

1. Le problème $\left( PC\right)$ possède au moins une solution pour tout vecteur de prix strictement positif et tout revenu non-négatif.

2. Si $x$ est la solution de $\left( PC\right)$ étant donnés $p$ et $R$ alors $x$ est aussi la solution pour $\left( \lambda p,\lambda R\right)$ , pour tout scalaire positif $\lambda$.

3. Si, en plus de ces propriétés, les préférences sont convexes alors l'ensemble des solutions de $\left( PC\right)$, étant donnés $p$ et $R,$ est aussi convexe. Si les préférences sont strictement convexes, alors $\left( PC\right)$ admet une solution unique.

4. Si, en des trois premières propriétés, les préférences respecte la non-saturation et si $x$ est une solution de $\left( PC\right)$ pour $\left( p,R\right)$, alors $p\cdot x=R$.

Preuve : La partie $\left( 1\right)$ vient du fait que dans ce cas l'ensemble de budget est compact et toute fonction continue dans un compact atteint nécessairement un maximum. Mais ce maximum n'est pas nécessairement unique. Partie $\left( 2\right)$ vient du fait que la de budget est homogène de degré zéro avec les prix et le revenu. La partie $\left( 3\right)$ vient du fait que l'ensemble de budget est convexe (si $x$ et $y$ sont dans $B$ alors $\lambda x+\left( 1-\lambda\right) y\in B$ aussi) ainsi que les préférences. La partie $\left( 4\right)$ est trivial et implique que le consommateur va se placer sur la frontière de $B$ en cas de non-saturation. $\square$

1.2.1 Résolution de PC

La résolution analytique de ce problème de maximisation se fait normalement avec la méthode de Kuhn et Tucker.

Former le Lagrangien à partir de la fonction d'utilité, de la contrainte de budget et des conditions de positivité des quantités de biens.

On associe à chacune de ces contraintes une variable duale : $\lambda$ pour la contrainte de revenu $\left( Y-p\bullet x\geq0\right)$ et $\mu_{j}$ pour chaque bien $j$

$$L=U\left( x\right) +\lambda\left( Y-\sum_{j=1}^{K}p_{j}x_{j}\right) +\sum_{j=1}^{K}\mu_{j}x_{j} L$$

Si $U$ est concave, alors $L$ est concave et les conditions de premier ordre sont aussi les conditions de second ordre:

$$\dfrac{\partial L}{x_{j}} =0\Rightarrow\dfrac{\partial U}{x_{j}}=\lambda p_{j}-\mu_{j},\quad j=1\dots K$$ (1.1)

$$\mu_{j}x_{j} =0,\quad j=1\dots K$$ (1.2)

$$\lambda\left( Y-p\bullet x\right) =0$$ (1.3)

Nous avons donc au total $2K+1$ équations pour résoudre $2K+1$ variables $\left( x_{1}\dots x_{K};\lambda;\mu_{1}\dots\mu_{K}\right)$.

Les variables duales sont nécessairement non-négatives (sinon elles ne pénaliseraient pas l'objectif $L$ par le non-respect de la contrainte correspondante): $\lambda\geq0,$ $\mu_{j}\geq0,$ $j=1\dots K$.

La condition  $\left( \ref{C1}\right)$ peut alors être écrite de la manière suivante

$$\dfrac{\partial U}{x_{j}}\leq\lambda p_{j}\quad\left( =\lambda p_{j}\quad si\quad x_{j}>0\right) .\quad$$ (1.4)

car nous avons $\mu_{j}=0$ dans ce cas (du fait de la condition  $\left( \ref{C2}\right)$).

Nous allons de plus supposer, pour simplifier le problème, que les prix sont strictement positifs.

La condition  $\left( \ref{C1bis}\right)$ devient alors

$$\dfrac{1}{p_{j}}\dfrac{\partial U}{x_{j}}\leq\lambda\quad\left( =\lambda\quad si\quad x_{j}>0,\forall j\right) .$$

Donc pour les biens dont les quantités consommées sont positives, le consommateur égalise leur utilité marginale pondérée par leur prix et ce ratio est plus grand pour ces biens que pour les biens dont la consommation est nulle.

Si nous savons que $\lambda>0$ alors nous pouvons réécrire cette condition de manière plus habituelle

$$\dfrac{\partial U/\partial x_{j}}{\partial U/\partial x_{l}}=TMS_{l,j} =\dfrac{p_{j}}{p_{l}}$$

Si $U$ est différentiable et concave, ces conditions sont suffisantes pour déterminer l'optimum du consommateur (avec $\lambda>0$).