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1.2 Jeux en forme extensive

La forme normale est surtout adaptée à la représentation des jeux simultanés.

Nous allons maintenant nous intéresser à des jeux séquentiels où les décisions sont prises à des moments différents et chaque joueur peut être amené à jouer plusieurs fois.

Pour représenter ces jeux où le déroulement du temps est important, nous allons utiliser la forme extensive ou l'arbre du jeu.

Exemple 3 : Le pilote et le terroriste

Un terroriste monte sur l'avion Strasbourg-Paris.

Après 10mn de vol, quand le terroriste s'approche du pilot et le menace de faire exploser l'avion s'il ne n'atterritatterit pas à Damas.

Le pilote a le choix entre continuer le vol vers Paris ou d'adopter la direction de Damas : $ A^{P}=\left\{ P,D\right\} .$

Après avoir observé le choix du pilote, le terroriste a le choix entre faire exploser la bombe ou abandonner : $ a^{T}\in\left\{ B,N\right\} .$

L'arbre suivant représente ce jeu :

\includegraphics{jeupt.eps}

Le premier noeud de cet arbre représente la décision du premier joueur.

A la suite de chacun de ses choix, la possibilité est donnée au joueur suivant d'effectuer son choix.

Une fois que tous les joueurs ont pris leurs décisions, on arrive à un résultat du jeu auquel les gains correspondants sont associés.

Ainsi l'arbre permet-il de faire apparaître les gains associés aux différents résultats possibles.

Définition 5   Un jeu en forme extensive est donné par :

1.
Un arbre de jeu contenant un noeud initial, des noeuds de décisions, des noeuds terminaux et des branches reliant chaque noeud à ceux qui lui succèdent.

2.
Un ensemble de $ N\geq1$ joueurs, indicés par $ i=1,2,\ldots N.$

3.
Pour chaque noeud de décision, le nom du joueur qui a le droit de choisir une stratégie à ce noeud.

4.
Pour chaque joueur $ i,$ la spécification de l'ensemble des stratégies permises à chaque noeud où il a le droit de prendre une décision.

5.
La spécification des gains de chaque jeu à chaque noeud terminal.

1.2.1  Définition des stratégies et des résultats dans lesjeux en forme extensive

Comme chaque joueur peut être amené à prendre de décisions plusieurs fois (donc à des noeuds différents) nous devons préciser le concept de stratégie pour en tenir compte.

Une stratégie du joueur $ i$ (notée $ s^{i}$) est un plan d'action complet qui spécifie une action pour chaque noeud où le joueur doit adopter une décision.

Retour à l'exemple

Le pilote n'a qu'un seul noeud de décision.

Ses stratégies contiennent alors une action unique :

$\displaystyle S^{P}=\left\{ D,P\right\} .
$

Le terroriste a deux noeuds de décisions : un après le choix de Damas par le pilote $ \left( II_{D}\right) $ et un après Paris $ \left(
II_{P}\right) $.

Ses stratégies doivent donc préciser une action à chacun de ces noeuds :

$\displaystyle S^{T}=\{(\underset{\left( II_{D}\right) }{B},\underset{\left(
II_{P}\right) }{B}),\left( B,N\right) ,\left( N,B\right) ,\left(
N,N\right) \}
$

Un résultat du jeu est la combinaison des stratégies des différents joueurs de manière à nous permettre de faire dérouler totalement le jeu :

$\displaystyle S$ $\displaystyle =\left\{ \left( D,\left( B,B\right) \right) ,\,\left( D,\left( B,...
...( D,\left( N,B\right) \right) ,\,\left( D,\left( N,N\right) \right) ,\right. \,$    
  $\displaystyle \left. \left( P,\left( B,B\right) \right) ,\,\left( P,\left( B,N\...
... P,\left( N,B\right) \right) ,\,\left( P,\left( N,N\right) \right) \right\} .\,$    

Nous pouvons alors associer un noeud terminal et les gains correspondants pour chaque résultat

$\displaystyle \pi^{P}\left( D,\left( B,B\right) \right)$ $\displaystyle =-1,\quad\pi^{T}\left( D,\left( B,B\right) \right) =-1,$    
$\displaystyle \pi^{P}\left( P,\left( N,N\right) \right)$ $\displaystyle =2,\quad\pi^{T}\left( P,\left( N,N\right) \right) =0.$    

1.2.2 La représentation en forme normale d'un jeu en forme extensive

La définition des stratégies que nous venons d'introduire nous permet de représenter aisément ce jeu sous une forme normale :

$\displaystyle \begin{tabular}[c]{ccc\vert ccc}
& & \multicolumn{4}{c}{\textbf{T...
...ft( 2,0\right) $\ & $\left(
-1,-1\right) $\ & $\left( 2,0\right) $\end{tabular}$

Nous pouvons alors examiner les équilibres de ce jeu :

Un nouveau concept d'équilibre va permettre ce résultat.

1.2.3 Sous-jeux et équilibre parfait en sous-jeux (EPSJ) -Selten(1975)

L'équilibre de Nash $ \left( D,\left( N,B\right) \right) $ est soutenue par la menace du terroriste de faire exploser l'avion si le pilote décide de prendre la direction de Paris. Est-ce raisonnable?

En effet, si le pilote décide effectivement d'aller à Paris le terroriste a les gains suivants :

$\displaystyle \pi^{T}\left( N\right) =0,\quad\pi^{T}\left( B\right) =-1.
$

Devant le fait accompli, le terroriste choisira donc de ne pas exploser la bombe.

Par conséquent, s'il était amené à exécuter effectivement sa menace (suite au choix de Paris), il n'aurait pas intérêt à le faire.

Par conséquent, cet équilibre de Nash est basé sur une menace non-crédible.

Nous ne devons donc pas tenir compte de cet équilibre de Nash.

Le concept d'EPSJ vise justement à éliminer ce type d'équilibre basés sur des actions qui ne seront jamais adoptées si le joueur concerné est effectivement confronté à ce choix.

En fait, chaque fois que le terroriste doit choisir entre faire éclater la bombe et abandonner, il aura intérêt à abandonner pour obtenir un gain plus élevé.

Nous devons donc éliminer tous les équilibres qui contiennent cette action $ \left( P,\left( B,N\right) \right) $ et $ \left( D,\left(
N,B\right) \right) $.

Le seul EPSJ de ce jeu est donc $ \left( P,\left( N,N\right)
\right) .$

Pour éliminer cette menace non-crédible, nous avons étudié le choix optimal de terroriste chaque fois qu'il devait prendre une décision (donc à chacun de ses noeuds de décisions).

Nous pouvons généraliser cette démarche en introduisant le concept de sous-jeu.

Un sous-jeu est l'ensemble formé par un noeud de décision du jeu original et tous les noeuds qui en découlent directement. Quand ce sous-jeu est différent du jeu original, on l'appelle une sous-jeu propre.

Le jeu de notre exemple possède clairement trois sous-jeux : le jeu original et deux sous-jeux propres.

\includegraphics[
height=3.0423cm,
width=4.0176cm
]
{sj1.eps} \includegraphics[
height=3.4245cm,
width=4.011cm
]
{sj2.eps}

Un résultat est un équilibre parfait en sous-jeux (EPSJ) s'il correspond à un équilibre de Nash dans chaque sous-jeu du jeu original.

Par conséquent, un EPSJ doit être un équilibre de Nash du jeu original car ce dernier correspond à un des sous-jeu.

Naturellement, chaque équilibre de Nash du jeu original n'est pas nécessairement un EPSJ comme l'a montré notre exemple. Le seul EPSJ est $ \left( P,\left( N,N\right) \right) .$

Pour chercher les EPSJ d'un jeu on utilise l'induction vers l'amont (backward induction).

\includegraphics[
height=1.5791in,
width=1.8896in
]
{sj0.eps}

Le pilote choisit alors de continuer vers Paris et nous avons l'équilibre $ \left( P,\left( N,N\right) \right) $


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Murat Yildizoglu