Sous-sections

• D.6.1 La règle d'or modifiée
• D.6.2 Dynamiques

D.6 SCE et dynamiques

Le sentier optimal est caractérisé par les équations :

$$\dot{k}=f\left( k\right) -c-nk,\quad\left( \leftarrow\ref{dynamiquek} \right)$$ (D.21)

$$\dot{c}=\frac{u^{\prime}\left( c_{t}... ...prime}\left( k\right) +\theta\right) ,\,\,\,\left( \leftarrow\ref{CN21}\right)$$ (D.22)

$$\lim_{t\rightarrow\infty}k_{t}\cdot\left( u^{\prime}\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta t}\right) =0.$$ (D.23)

Sur le sentier de croissance équilibrée le capital/tête $\left( k\right)$ et la consommation/tête $\left( c\right)$ sont constants. Notons par $k^{\ast}$ et $c^{\ast}$ ces valeurs.

D.6.1 La règle d'or modifiée

A partir de  $\left( \ref{s2}\right) ,$ avec $\dot{c}=0,$ nous obtenons la règle d'or modifiée :

$$f\,^{\prime}\left( k^{\ast}\right) =n+\theta\Rightarrow k^{\ast} =f\,^{\prime\,-1}\left( n+\theta\right)$$ (D.24)

Le produit marginal du capital sur le SCE doit être égal à la somme du taux de préférence pour le présent et du taux de croissance de la population. A partir de ce résultat et de  $\left( \ref{s1}\right) ,$ nous pouvons calculer le niveau de $c$ correspondant à $k^{\ast}$ :

$$c^{\ast}=f\left( k^{\ast}\right) -nk^{\ast}$$ (D.25)

La règle d'or que nous connaissons correspond à $f\,^{\prime}\left( k_{or}\right) =n.$ Cela nous donne le stock de capital qui maximise la consommation/tête sur le SCE :

$$f^{\prime}\left( k^{\ast}\right) =n+\theta>n=f^{\prime}\left( k_{or}\right)$$

$$f^{\prime\prime} <0\Rightarrow k^{\ast}<k_{or},$$

$$f\left( k^{\ast}\right) <f\left( k_{or}\right) ,\;c^{\ast}<c_{or}.$$

La condition modifiée  $\left( \ref{or_k}\right)$ implique que la consommation/tête soit réduit de son niveau de règle d'or d'un montant qui dépend de la préférence pour le présent. Même si la famille pourrait consommer plus sur le SCE, du fait de l'impatience reflétée par $\theta,$ il n'est pas optimal, du fait de l'impatience reflétée par $\theta,$ de réduire la consommation présente dans le but d'atteindre le niveau plus élevé de la règle d'or. Cette condition est très puissante car elle implique qu'en définitive, la productivité du capital, ainsi que le taux d'intérêt réel, sont déterminés par la préférence pour le présent et $n$ : les goûts et la croissance démographique déterminent le taux d'intérêt réel $\left( \theta+n\right) ,$ et la technologie détermine alors le stock de capital et la consommation compatibles avec ce taux.

D.6.2 Dynamiques

Pour étudier la dynamique, nous allons utiliser un diagramme de phase dans le plan $\left( k,c\right) .$ L'évolution dynamique de ce système est donnée par les équations $\left( \ref{s1}\right)$ et $\left( \ref{s2}\right) :$

$$\dot{k}=f\left( k\right) -c-nk,\quad\quad\left( \leftarrow \ref{dynamiquek}\right)$$ (D.26)

$$\dot{c}=\frac{u^{\prime}\left( c_{t}... ...{\prime}\left( k\right) +\theta\right) ,\,\,\left( \leftarrow\ref{CN21}\right)$$ (D.27)

Nous savons que :

$$\dot{c}=0\Rightarrow f\,^{\prime}\left( k\right) =n+\theta\Rightarrow k=k^{\ast}\,\,\left( \text{constante}\right)$$ (D.28)

La courbe $\dot{c}=0$ est donc une droite verticale donnée par $k=k^{\ast}.$

$$\dot{k}=0\Rightarrow c=f\left( k\right) -nk\,\,\,\,\left( \text{fonction de }k\right) .$$

La courbe $\dot{k}=0$ commence à l'origine. Elle coupe la droite $\dot{c}=0$ en un point $\mathbf{E}$, elle atteint son maximum en $k=k_{or}$ $\left( f^{\prime}\left( k_{or}\right) =n\right)$ et décroît jusqu'à un point $\mathbf{A}$ où elle coupe l'axe des abscisses $\left( f\left( A\right) =n.A\right) .$ Nous savons de plus que :

• au dessus de la courbe $\dot{k}=0,$ $\dot{k}<0$ et en dessous de cette courbe $\dot{k}>0.$

• de même, à gauche de la droite $\dot{c}=0,$ $\dot{c}>0$ et à droite, $\dot{c}<0.$

A partir de ces observations, nous pouvons représenter l'évolution dynamique de l'économie dans un diagramme de phase.

Remarque 1 : La dynamique

$$\dot{c} =0\Leftrightarrow f^{\prime}\left( k^{\ast}\right) -n-\theta=0$$

$$k <k^{\ast}\Rightarrow f^{\prime}\left( k\right) >f^{\prime}\left( k^{\ast}\right) =n+\theta\Rightarrow\dot{c}\left( k\right) >0$$

$$\dot{k} =0\Leftrightarrow f\left( k^{\ast}\right) -c^{\ast}-nk^{\ast }=0$$

$$c >c^{\ast}\Rightarrow\dot{k}\left( k^{\ast},c\right) =f\left( k^{\ast }\right) -c-nk^{\ast}<0$$

Remarque 2 : La règle d'or

$$f^{\prime}\left( k^{\ast}\right) =n+\theta>n=f^{\prime}\left( k_{or}\right)$$

$$k^{\ast} <k_{or}\quad(car\,\,f^{\prime\prime}<0)$$

$$f\left( k^{\ast}\right) <f\left( k_{or}\right) \Rightarrow c^{\ast }<c_{or}$$

Il y a trois équilibres : l'origine $O,$ le point $E$ et le point $A.$ Sur toutes les trajectoires$\,$ soit la condition de Keynes-Ramsey, soit la condition de transversalité est violée, sauf sur $DD$. Sur cette branche on vérifie toutes les contraintes et on converge vers le sentier de croissance équilibrée : c'est la branche stable. $\bullet$ Si l'économie démarre au dessus de $D$ (point $D^{\prime}$)$\,$ elle converge, dans un temps fini, vers le point $B$ où le stock de capital disparaît. L'économie doit alors passer à l'origine. Or un tel saut de $c$ est exclu par l'équation dynamique de $c.$ $\bullet$ Si l'économie démarre en dessous de $D$ (point $D^{\prime\prime}$)$\,$ alors elle converge asymptotiquement vers $A.$ Or une telle trajectoire viole la condition de transversalité. Par conséquent, la solution du problème du planificateur central est parfaitement résumée par cette trajectoire. Pour tout niveau du capital initial, $k_{0},$ il peut calculer un niveau optimal unique de la consommation de manière à placer l'économie sur cette trajectoire. L'économie converge alors de manière monotone vers $\left( k^{\ast},c^{\ast}\right) .$ Il peut aussi calculer, au moment zéro, les niveaux de la consommation optimale et du stock de capital à tout moment dans le futur.