A.1 La fonction de production néo-classique

Une fonction de production est dite néo-classique si elle vérifie les trois propriétés suivantes :

1. Productivités marginales décroissantes

   $$\forall K>0,L>0, \begin{array}[c]{ll} \dfrac{\partial F}{\parti... ...rtial F}{\partial L}>0, & \dfrac{\partial^{2}F}{\partial L^{2}}<0. \end{array}$$ (A.1)

   
   

2. Rendements d'échelle constants

   $$F\left( \lambda K,\lambda L\right) =\lambda F\left( K,L\right) ,\;\;\forall\lambda>0.$$ (A.2)

   
   
   ( $F$ est homogène de degré 1)
3. Conditions d'Inada (Inada(1963)

   $$\begin{array}[c]{l} \lim_{K\rightarrow0}F_{K}=\lim_{L\righta... ...rrow\infty}F_{K}=\lim_{L\rightarrow\infty}F_{L}=0. \end{array}$$ (A.3)

   
   
   ($F_{K}$ et $F_{L}$ sont de type hyperbolique)

Grâce aux rendements d'échelle constants, la fonction de production peut s'écrire sous la forme per capita

$$Y =F\left( K,L\right) =L.F\left( K/L,1\right) =L.f(k)$$

$$\Rightarrow y\equiv Y/L=f(k)$$ (A.4)

$$f(k) \equiv F\left( K/L,1\right) .$$

Avec ces nouvelles notations, les productivités marginales peuvent s'écrire

$$\frac{\partial Y}{\partial K} =f^{\prime}\left( k\right) ,$$ (A.5)

$$\frac{\partial Y}{\partial L} =f\left( k\right) -kf^{\prime}\left( k\right) .$$

Et les conditions d'Inada impliquent

$$\lim_{k\rightarrow0}f^{\prime}\left( k\right) =\infty$$ et $$\lim_{k\rightarrow\infty}f^{\prime}\left( k\right) =0.$$

De plus les conditions $\left( ~\ref{neo1}-\ref{neo3}\right)$ impliquent que les deux inputs sont essentiels :

$$F\left( 0,L\right) =F\left( K,0\right) =f\left( 0\right) =0.$$

Un exemple souvent retenue est la fonction de Cobb-Douglas

$$Y =AK^{\alpha}L^{1-\alpha},\quad A>0,\,\,0<\alpha<1$$ (A.6)

$$\Rightarrow y=f\left( k\right) =Ak^{\alpha}$$ (A.7)