Sous-sections

• D.7.1 Condition de Non-Ponzi
• D.7.2 Équilibre décentralisé
• D.7.3 Le rôle des anticipations

D.7 Économie décentralisée

Considérons maintenant une économie décentralisée avec deux marchés de facteurs: un pour le travail et un pour les services du capital. Les services du travail sont loués au prix $w_{t}$ (le salaire) et ceux du capital au prix $r_{t}.$ Il existe un marché des fonds prétables sur lequel les familles peuvent s'endetter ou prêter de l'argent. Il existe une multitude de familles identiques, chacune avec une fonction d'utilité identique à  $\left( \ref{utilite}\right)$. Chaque famille doit décider à chaque point du temps

• la quantité de travail et de capital qu'elle propose aux entreprises et
• les montants qu'elle va consommer et épargner.

Elle peut épargner soit à travers l'accumulation du capital, soit en prêtant aux autres familles. Les familles sont indifférentes à la composition particulière de leur épargne. Par conséquent les deux rendements doivent être égaux: le taux d'intérêt sur la dette doit être égal au taux de location du capital. Il existe une multitude de firmes identiques, chacune utilisant la même technologie  $\left( \ref{technologie}\right) .$ Les entreprises louent les services du capital et du travail pour produire. L'hypothèse des rendements constants fait que le nombre de firmes n'est pas important tant que les firmes ont un comportement concurrentiel de preneurs de prix (le salaire réel et le taux de location du capital). Les familles et les entreprises font des prévisions parfaites: elles connaissent parfaitement les prix $\left( w,r\right)$ présents et futurs et les prennent comme des données (anticipations rationnelles si incertitude). Par conséquent, étant donnée une suite de prix

$$\left\{ w_{t},r_{t}\right\} ,t=\left[ 0,\infty\right) ,$$

chaque famille doit maximiser à chaque point du temps

$$U_{s}=\int_{s}^{\infty}u\left( c_{t}\right) e^{-\theta\left( t-s\right) }dt$$

sous la contrainte budgétaire

$$c_{t}+\dot{a}_{t}+na_{t}=w_{t}+r_{t}a_{t},\,\,\forall t,k_{0}\,$$ (D.29)

où $a_{t}\equiv k_{t}-b_{pt}$ est la richesse de la famille donnée par le stock de capital détenu $a_{t}$ net de la dette de la famille $b_{pt}.$ A chaque moment du temps, les offres de travail et de capital par les familles sont inélastiques. L'offre de capital est déterminée par les décisions d'investissement passées et l'offre de travail est déterminée par la population. La seule décision que la famille doit faire concerne donc l'arbitrage
consom mation/épargne. Les firmes maximisent le profit à chaque moment du temps. Étant donnée leur technologie, représentée par la fonction de production  $\left( \ref{technologie}\right) ,$ les conditions de premier ordre impliquent:

$$f^{\prime}\left( k_{t}\right) =r_{t}$$ (D.30)

$$f\left( k_{t}\right) -k_{t}f^{\prime}\left( k_{t}\right) =w_{t}$$ (D.31)

Considérons un sentier donné de salaires et de taux de location du capital.

Étudions l'établissement de cet équilibre.

D.7.1 Condition de Non-Ponzi

Jusqu'à maintenant on a posé aucune contrainte sur $a.$ Si un consommateur peut s'endetter sans limite $\left( a<0\right)$ au taux d'intérêt courant $\left( r_{t}\right)$, il peut être tenté de s'engager à un enchaînement de dettes (Ponzi Game): il peut emprunter $1F$ aujourd'hui pour financer la consommation présente et s'endetter de nouveau demain pour reconduire sa dette et payer les intérêts. Comme la dette n'est jamais payée en définitive, la consommation présente supplémentaire devient gratuite. En contrepartie, la dette de la famille augmente indéfiniment au taux $r_{t}.$ Ce type de situations aberrantes doit être éliminé des trajectoires d'équilibre: la dette ne doit pas exploser asymptotiquement

$$\lim_{t\rightarrow\infty}a_{t}\cdot e^{-\int_{0}^{t}\left( r_{v}-n\right) dv}\geq0$$ (D.32)

C'est la condition de non-Ponzi qui implique que la dette ne peut croître plus rapidement que $r_{t}.$ Les familles ont en fait intérêt à saturer cette contrainte.

D.7.2 Équilibre décentralisé

Le programme de la famille est

$$\max_{c_{t}}U_{0} =\int_{0}^{\infty}u\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta t}\cdot dt$$

$$S.\grave{a}.\quad\left\{ \begin{array}[c]{l} c_{t}+\dot{a}_{t}+... ...y}a_{t}\cdot e^{-\int_{0}^{t}\left( r_{v}-n\right) dv}=0 \end{array} \right.$$

Si l'on construit un Hamiltonien et on en écrit les conditions nécessaires, nous obtenons:

$$\frac{du^{\prime}\left( c_{t}\right) /dt}{u^{\prime}\left( c_{t}\right) } =\theta+n-r_{t,}$$ (D.33)

$$\lim_{t\rightarrow\infty}a_{t}\cdot e^{-\theta t} =0$$ (D.34)

Comme la dette agrégée doit être nulle à l'équilibre, nous devons aussi avoir $a_{t}=k_{t}.$ Si l'on tient compte de ce résultat et on l'intégre aux conditions $\left( ~\ref{CND1}-~\ref{CND2}\right)$ sur les productivités marginales et les prix $\left( w_{t},r_{t}\right) ,$ on obtient à partir des équations $\left( \ref{budget0} ,\ref{noponzi}\right)$

$$c_{t}+\dot{k}+nk_{t} =f\left( k_{t}\right) ,$$ (D.35)

$$\frac{du^{\prime}\left( c_{t}\right) /dt}{u^{\prime}\left( c_{t}\right) } =\theta+n-f^{\prime}\left( k_{t}\right) .$$ (D.36)

Les conditions $\left( \ref{CND4}-\ref{CND4BIS}\right)$ donnent le comportement dynamique de cette économie décentralisée. Elles sont identiques aux conditions $\left( \ref{CN2bis}\right) ,$ $\left( \ref{dynamiquek}\right) ,$ et $\left( \ref{CN3}\right)$ de l'économie centralisée. Les deux dynamiques optimales sont donc équivalentes (avec $f^{\prime}=r$).

D.7.3 Le rôle des anticipations

Ces conditions n'expriment la dynamique que comme une fonction des valeurs instantanées des variables. Est-ce cela voudrait dire que les anticipations des agents ne jouent aucune rôle dans cette dynamique? La contrainte de budget intertemporelle  $\left( \ref{budget0}\right)$ montre clairement que la famille ne peut planifier ses décisions sans connaître la trajectoire des prix $\left\{ r_{t},w_{t}\right\} .$ Ces anticipations sont donc essentielles à l'allocation des ressources dans l'économie décentralisée. Les conditions d'optimalité instantanées déterminent les taux de variation et non les niveaux des variables (notamment de la consommation). Si les anticipations ne sont pas correctes (si elles ne sont pas des anticipations d'équilibre) alors la solution décentralisée diverge de la solution centralisée. L'évolution de l'économie décentralisée dépend alors de la manière dont les ménages forment et révisent leurs anticipations.