D.5 La condition de transversalité

Une condition de transversalité indique le comportement que doit avoir la commande quand on arrive à l'horizon du programme (ici à l'infini) : la manière dont la commande doit traverser la ligne d'horizon. Cette condition doit nous aider à choisir le sentier optimal parmi les sentiers possibles. Dans notre cas cette condition est donnée par la contrainte  $\left( \ref{CN3}\right)$

$$\lim_{t\rightarrow\infty}k_{t}\cdot\left( \lambda_{t}\cdot e^{-\t... ..._{t}\cdot\left( u^{\prime}\left( c_{t}\right) \cdot e^{-\theta t}\right) =0.$$

On peut comprendre mieux la signification de cette contrainte si l'on considère notre problème avec un horizon fini : $T.$ Dans ce cas, si $u^{\prime}\left( c_{T}\right) \cdot e^{-\theta T}$ était positive, il serait sous-optimal de terminer avec un stock de capital positif car on pourrait améliorer le bien-être en consommant ce capital. Par conséquent, on doit avoir sur le sentier optimal :

$$k_{T} >0 u^{\prime}\left( c_{T}^{\ast}\right) \cdot e^{-\theta T}=0$$ ou

$$k_{T} =0 u^{\prime}\left( c_{T}^{\ast}\right) \cdot e^{-\theta T}>0$$ ou

$$k_{T} =0 u^{\prime}\left( c_{T}^{\ast}\right) \cdot e^{-\theta T}=0$$

On peut condenser ces conditions en une seule :

$$k_{T}\cdot\left( u^{\prime}\left( c_{T}\right) \cdot e^{-\theta T}\right) =0.$$

La condition à horizon infini peut être vue comme étant la limite de cette condition quand $T$ devient très grand.

$$\lim_{T\rightarrow\infty}k_{T}\cdot\left( u^{\prime}\left( c_{T}\right) \cdot e^{-\theta T}\right) =0.$$