8.2 Intuition et autres modèles de croissance

La croissance endogène est causée dans le modèle $AK$ du fait d'une linéarité fondamentale dans une équation différentielle dans le modèle. Cela peut-être observé en combinant la fonction de production et l'équation d'accumulation du capital dans le modèle de Solow (en normalisant la population à un):

$$\dot{K}=sAK^{\alpha}-\delta K.$$

Quand $\alpha=1$, cette équation est linéaire en $K$ et le modèle génère une croissance qui dépend de $s$. Si $\alpha<1$, cette équation est non-linéaire (convexe) en $K$ et il y a des rendements décroissants dans l'accumulation du capital. Si nous divisons les deux membres par $K$, nous observons que le taux de croissance du stock de capital décroît au fur et à mesure que l'économie accumule du capital:

$$\gamma_{K}=\frac{\dot{K}}{K}=sA\frac{1}{K^{1-\alpha}}-\delta.$$

Un autre exemple du rôle de la linéarité peut être observé en considérant le taux de croissance exogène de la technologie dans le modèle de Solow augmenté:

$$\dot{A}=gA.$$

Cette équation différentielle est linéaire en $A$ et un changement permanent de $g$ augmente de manière permanente le taux de croissance dans le modèle de Solow avec progrès technique exogène. Cela montre aussi la connexion entre la linéarité d'une équation différentielle fondamentale du modèle et la croissance. Mais le concept-clé ici est l'absence des rendements décroissants. Si l'on a par exemple deux équations différentielles dans le modèle et si l'une est convexe mais la concavité de l'autre est plus forte, on peut aussi avoir une croissance endogène (sans qu'il y ait de linéarité). D'autres modèles de croissance endogène peuvent être créés en se basant sur cette intuition. Par exemple, le modèle de Lucas (1988) utilise une fonction de production similaire à celle du chapitre 3:

$$Y=K^{\alpha}\left( hL\right) ^{1-\alpha},$$

où $h$ représente le capital humain par personne. Lucas suppose que ce capital humain évolue selon l'équation suivante

$$\dot{h}=\left( 1-u\right) h$$

où $u$ est le temps consacré au travail et $1-u,$ celui consacré à la formation. On voit ici que le temps consacré à la formation augmente le taux de croissance du capital humain

$$\frac{\dot{h}}{h}=1-u$$

et $h$ entre dans la fonction de production de la même manière que le progrès technique augmentant le travail dans le modèle de Solow. Donc ce modèle fonctionne comme le modèle de Solow mais avec $A$ qui est cette fois-ci le capital humain et $g=1-u.$ Toute politique qui augmente de manière permanente le temps consacré à la formation augmente le taux de croissance du PIB/tête de manière permanente.